Integrál

Z PanWiki

Přejít na: navigace, hledání

Integrál je jeden ze základních pojmů matematiky, konkrétně integrálního počtu. Pojem integrálu je zobecněním pojmů jako plocha, objem, součet či suma. Integrování je opačnou operací k derivování.

Obsah

Názorné vysvětlení

Integrál jako plocha pod křivkou.

Jednoduše řečeno je určitý integrál nezáporné funkce f(x) mezi nějakými dvěma body a, b roven ploše obrazce omezeného přímkami x=a, x=b, osou x a křivkou definovanou grafem funkce f. Formálněji řečeno, takový integrál je roven míře množiny S definované jako

S= \{(x,y) \in \mathbb{R}^2:a \leq x \leq b ,0 \leq y \leq f(x)\}

Integrál se značí stylizovaným protaženým písmenem S (z latinského summa). Toto značení vytvořil Gottfried Leibniz. Integrál z předchozího odstavce by se značil jako \int_a^b f(x)\,dx, kde znaménko ∫ značí integrování, a a b jsou integrační meze (jen u určitého integrálu), dx označuje proměnnou, podle které se integruje (původně označovalo infinitezimální hodnotu, dnes však slouží jen jako ryze symbolické označení bez dalšího významu).

Neurčitý integrál

Hledání neurčitého integrálu (primitivní funkce) je opačný proces k určování derivace. Při výpočtu se vychází ze známých integrálů (tabulkové integrály) a využívá se linearita, metoda per partes a substituční metoda.

Definice: Funkce F se nazývá primitivní funkce k funkci f na otevřeném intervalu I, pokud F' = f na intervalu I.

Platí

\int {f(x)} dx = F(x) + c

Tabulkové integrály

\int {0} \,dx = c
\int {x^n} \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c
\int {\frac{1}{x}} \,dx = \ln |x| + c
\int {e^x} \,dx = e^x + c
\int {\sin x} \,dx = -\cos x + c
\int {\cos x} \,dx = \sin x + c
\int {\frac{1}{\sin^2 x}} \,dx = -\operatorname{cotg} \,x + c
\int {\frac{1}{\cos^2 x}} \,dx = \operatorname{tg} \,x + c

Přesnější definice

Existuje řada definic integrálu, které pro rozumně se chovající funkce vedou ke stejným výsledkům. Z nich nejdůležitější jsou Riemannův integrál a Lebesgueův integrál. Riemannův integrál navrhnul Bernhard Riemann v roce 1854 a šlo o první definici integrálu odpovídající dnešním měřítkům. Lebesgueův integrál pak vytvořil Henri Lebesgue.

Lebesgueův integrál a další, ještě pokročilejší integrály, umožňují integrovat širší třídy funkcí, platí pro ně silnější verze mnoha tvrzení a skýtají i mnoho jiných výhod. Patří mezi ně například Kurzweilův integrál.

Komplexní integrál

V komplexních číslech se zpravidla užívají křivkové integrály. Pokud tyto integrály probíhají po uzavřené křivce v komplexní rovině, lze je zpravidla snadno spočíst pomocí reziduové věty, Cauchyova vzorce nebo Cauchyovy věty.

Wiki letter w.png

Tento článek je pahýl. Můžete serveru PanWiki pomoci tím, že jej rozšíříte.

Citováno z „http://panwiki.panska.cz/index.php/Integr%C3%A1l“
Na Wikipedii