Elektroakustické analogie

Z PanWiki

Přejít na: navigace, hledání
Tento článek je rozpracován uživatelem: Elektronik.
Prosím, abyste ho zatím neupravovali a pokud cítíte nutnost s ním v tuto chvíli nějak manipulovat, abyste se se mnou nejprve spojili prostřednictvím mojí diskuse.


Obsah

Co to jsou elektroakustické analogie

Elektroakustické soustavy se často skládají z částí elektrických, mechanických a akustických. Každou část lze popsat samostatně fyzikálními zákony a z nich vycházejícími vztahy. Ve všech třech soustavách lze vysledovat formální i věcnou podobnost těchto vztahů. Elektroakustickými analogiemi se nazývají souhrnně podobnosti vztahů popisujících soustavy mechanické a akustické se soustavou elektrickou - tj. elektrickým obvodem.

Proč se využívá elektroakustických analogií

Elektroakustické analogie mají dvě hlavní oblasti použití:

  • Převod celé elektroakustické soustavy na ekvivalentní elektrický obvod

Elektroakustickou soustavu je možné sjednotit na jedinou soustavu včetně popisu vazeb mezi jednotlivými částmi. Následně je možné provést analýzu chování celé soustavy dobře propracovanými systémy pro analýzu elektrických obvodů. Využitím analogií se výsledky analýzy transformují zpět na mechanickou a akustickou část.

  • Převod mechanické nebo akustické soustavy na ekvivalentní elektrický obvod

Vlastnosti mechanických a akustických soustav lze zkoumat na modelu tvořeným elektrickým obvodem. Pro analýzu a syntézu elektrických obvodů existuje mnoho výkonných nástrojů. Na základě elektroakustických analogií lze modelovat mechanickou nebo akustickou soustavu elektrickým obvodem. Po provedení analýzy nebo syntézy modelu lze přetransformovat elektrický model zpět do mechanické nebo akustické podoby.

Elektroakustické analogie jsou snadnou metodou jak studovat funkci elektroakustických měničů, akustických prvků (zvukovody, píšťaly, rezonátory, aj.) a prvků upravujících akustické vlastnosti uzavřených prostor.

Analogie fyzikálních veličin

Analogie mezi elektrickým obvodem a mechanickou posuvnou soustavou

Vycházejme z mechanické soustavy tvořené membránou o hmotnosti m, která je pružně ukotvená mezi pružinami s poddajností c a mechanickým odporem r způsobeným vnitřním třením. Soustava tvoří mechanický oscilátor. Bude-li na membránu působit síla F harmonického průběhu bude budit harmonické kmity s okamžitou rychlostí v. Určeme velikost síly, která uvádí membránu do pohybu.

Popis membrány

Okamžitá hodnota síly Fr potřebná k překonání mechanického odporu je přímo úměrná okamžité hodnotě rychlosti pohybu (důsledek Stokesova zákona): 

\mathbf{F_r} ~=~ r \mathbf{v}

Při harmonickém kmitání jsou obě veličiny - síla Fr a rychlost pohybu v ve fázi.
Hmotnost membrány je uváděna do pohybu zrychlující silou Fm (2. Newtonův zákon): 

F_m ~=~ ma,

kde a je okamžitá hodnota zrychlení pohybu membrány. V každém okamžiku představuje poměr změny rychlosti za krátký časový interval a dobu tohoto intervalu: 

a ~=~ \frac {\Delta v }{\Delta t}

Při harmonickém kmitání se bude časový průběh rychlosti opožďovat o čtvrtinu periody za časovým průběhem zrychlení a síly. Velikost zrychlující síly je přímo úměrná úhlové frekvenci kmitání. Symbolicky můžeme zrychlující sílu zapsat: 

\mathbf{F_m} ~=~ j \omega m \mathbf{v}

Proti vychylování membrány z klidové polohy bude působit její pružné uchycení. Toto působení musí překonat složka budící síly Fc, která bude přímo úměrná výchylce membrány z klidové polohy y (Hookův zákon): 

F_c ~=~ \frac{1}{c}y,

kde \frac{1}{c} představuje tuhost uchycení membrány, která je převrácenou hodnotou její poddajnosti c.
Rychlost v každém okamžiku představuje poměr změny výchylky za krátký časový interval a dobu tohoto intervalu: 

v ~=~ \frac {\Delta y }{\Delta t}

Při harmonickém kmitání se bude časový průběh rychlosti předbíhat o čtvrtinu periody před časovým průběhem výchylky a síly. Velikost síly Fc je nepřímo úměrná úhlové frekvenci kmitání. Symbolicky můžeme sílu Fc zapsat: 

\mathbf{F_c} ~=~ \frac {\mathbf{v}}{j \omega c}

Výsledná síla uvádějící membránu do pohybu při harmonickém kmitání je dána součtem všech tří uvedených složek: 

\mathbf{F} ~=~ \mathbf{F_r} + \mathbf{F_m} + \mathbf{F_c} ~=~ (r + j \omega m + \frac{1}{j\omega c})\mathbf{v}
Mechanické schema membrány

Srovnejme nyní popis mechanického oscilátoru tvořeného membránou s popisem elektrického obvodu tvořeného sériovým spojením odporu, indukčnosti a kapacity buzeného zdrojem střídavého napětí harmonického průběhu.

Schema elektrického obvodu

Okamžitá hodnota napětí na odporu uR je přímo úměrná okamžité hodnotě elektrického proudu i procházejícího obvodem (Ohmův zákon). Závislost můžeme zapsat symbolicky: 

\mathbf{U_R} ~=~ R \mathbf{I}

Při harmonickém kmitání jsou obě veličiny - napětí uR a proud i ve fázi.
Na indukčnosti se indukuje napětí uL přímo úměrné indukčnosti a okamžité rychlosti změny procházejícího proudu (Faradayův indukční zákon): 

u_L ~=~ L \frac {\Delta i }{\Delta t}.

Při harmonickém kmitání se bude časový průběh proudu opožďovat o čtvrtinu periody za časovým průběhem napětí. Velikost napětí je přímo úměrná úhlové frekvenci kmitání. Symbolicky můžeme napětí na indukčnosti zapsat: 

\mathbf{U_L} ~=~ j \omega L \mathbf{I}

Působením proudu procházejícího obvodem dochází ke změně náboje q akumulovaného v kondenzátoru. Změně náboje je přímo úměrná kapacitě C a změně napětí na kondenzátoru uC, která působí proti dalšímu průchodu elektrického proudu: 

u_C ~=~ \frac{1}{C}q.

Procházející proud i v každém okamžiku představuje poměr změny náboje za krátký časový interval a dobu tohoto intervalu (definice elektrického proudu): 

i ~=~ \frac {\Delta q }{\Delta t}

Při harmonickém kmitání se bude časový průběh proudu předbíhat o čtvrtinu periody před časovým průběhem náboje a napětí. Velikost napětí uC je nepřímo úměrná úhlové frekvenci kmitání. Symbolicky můžeme napětí uC zapsat: 

\mathbf{U_C} ~=~ \frac {\mathbf{I}}{j \omega C}

Výsledné napětí na sériové kombinaci odporu, indukčnosti a kapacity je dáno součtem všech tří uvedených složek: 

\mathbf{U} ~=~ \mathbf{U_R} + \mathbf{U_L} + \mathbf{U_C} ~=~ (R + j \omega L + \frac{1}{j\omega C})\mathbf{i}

Srovnáním uvedených základních vztahů popisujících jednoduchý mechanický oscilátor a elektrický sériový RLC obvod jsou zřejmé analogie mezi fyzikálními veličinami.

Elektrická analogie mechanického obvodu

Kinetická energie mechanického pohybu odpovídá energii magnetického pole v jádře indukčnosti. Mechanická kinetická energie dosahuje maxima při maximu rychlosti pohybu podobně jako energie magnetického pole dosahuje maxima při maximu procházejícího proudu.
Rovněž je patrna analogie mezi potenciální mechanickou energií a energií elektrostatického pole. Potenciální mechanická energie dosahuje maxima při nulové okamžité rychlosti, podobně jako energie elektrostatického pole, která dosahuje maxima při nulové okamžité hodnotě proudu.
Popsané analogie jsou shrnuty v tabulce:

Elektrická soustava Mechanická soustava
Elektrické napětí U Síla F
Elektrický proud I Rychlost pohybu v
Elektrický náboj Q Výchylka y
Elektrický odpor R Mechanický odpor r
Indukčnost L Hmotnost m
Kapacita C Mechanická poddajnost c
Energie magnetického pole Kinetická energie
Energie elektrostatického pole Potenciální energie
Činný výkon Mechanický ztrátový výkon
Jalový výkon Mechanický výkon respektující cyklickou přeměnu potenciální a kinetické energie

Na závěr si odvodíme analogii mechanické páky. Páka je v rovnováze pokud momenty na obou ramenech jsou shodné a působí proti sobě. To znamená, že platí: 

F_1 l_2 ~=~ F_2 l_1
Páka

Poměr sil na páce je dán poměrem délek ramen: 

\frac{F_1}{F_2} ~=~ \frac{l_1}{l_2}

Při pohybu, budeme-li předpokládat, že páka je bezeztrátová, se musí mechanický výkon na obou ramenech rovnat: 

  P_1 ~=~ P_2 
F_1 v_1 ~=~ F_2 v_2

Poměr rychlostí pohybů ramen je roven: 

\frac{v_1}{v_2} ~=~ \frac{F_2}{F_1} ~=~ \frac{l_2}{l_1}

Což je převrácená hodnota poměru délek ramen.</br> Poměr mechanických impedancí na obou ramenech je: 

\frac{Z_{m1}}{Z_{m2}} ~=~ \frac{\frac{F_1}{v_1}}{\frac{F_2}{v_2}} ~=~ \frac{F_1 v_2}{F_2 v_1} ~=~ {(\frac{l_1}{l_2}})^2

Poměr mechanických impedancí na obou ramenech je tedy roven druhé mocnině poměru délek ramen. Srovnejme nyní páku s transformátorem.

Transformátor

Poměr napětí na vinutí transformátoru je dán poměrem počtu závitů: 

\frac{U_1}{U_2} ~=~ \frac{n_1}{n_2}

Budeme-li předpokládat, že transformátor je bezeztrátový, musí se výkon na obou vinutích rovnat: 

  P_1 ~=~ P_2 
U_1 I_1 ~=~ U_2 I_2

Poměr proudů vinutími je roven: 

\frac{I_1}{I_2} ~=~ \frac{U_2}{U_1} ~=~ \frac{n_2}{n_1}

Což je převrácená hodnota poměru počtu závitů vinutí.</br> Poměr impedancí na obou vinutích je: 

\frac{Z_{1}}{Z_{2}} ~=~ \frac{\frac{U_1}{I_1}}{\frac{U_2}{I_2}} ~=~ \frac{U_1 I_2}{U_2 I_1} ~=~ {(\frac{n_1}{n_2}})^2

Poměr impedancí na obou vinutích je tedy roven druhé mocnině poměru počtů závitů vinutí.
Analogie mezi pákou a transformátorem je dokonalá až na označení ramen a počtu závitů. Ramena je nutné označit tak, aby síla F1 působila na rameni l2 a síla F2 působila na rameni l1.

Analogie mezi elektrickým obvodem a akustickou soustavou

Podobně jako u mechanické soustavy vycházejme z představy jednoduchého akustického rezonátoru. V hrdle rezonátoru kmitá sloupec vzduchu o akustické hmotnosti ma. Hrdlo ústí do uzavřeného prostoru o akustické poddajnosti ca. Vlivem viskozity vzduchu se hrdlo rezonátoru vyznačuje rovněž akustickým odporem ra. Bude-li na vstupu hrdla působit akustický tlak p harmonického průběhu bude budit harmonické kmity s objemovou rychlostí w. Určeme velikost akustického tlaku, který budí akustické vlny s objemovou rychlostí w.
Okamžitá hodnota akustického tlaku p potřebná k překonání akustického odporu je přímo úměrná okamžité hodnotě objemové rychlosti (obdoba Stokesova zákona): 

\mathbf{p_r} ~=~ r_a \mathbf{w}

Při harmonickém kmitání jsou obě veličiny - akustický tlak pr a objemová rychlost w ve fázi.
Akustický tlak pm na vstupu hrdla způsobuje změnu objemové rychlosti w sloupce vzduchu: 

p_m ~=~ m_a \frac {\Delta w}{\Delta t}.

Při harmonickém kmitání se bude časový průběh objemové rychlosti opožďovat o čtvrtinu periody za časovým průběhem akustického tlaku. Velikost potřebného akustického tlaku je přímo úměrná úhlové frekvenci kmitání. Symbolicky můžeme potřebný akustický tlak pm zapsat: 

\mathbf{p_m} ~=~ j \omega m_a \mathbf{w}

Proti objemovému posuvu bude působit vzrůstající tlak v uzavřeném prostoru. Toto působení musí překonat složka akustického tlaku pc, která bude přímo úměrná objemovému posunu Ya (obdoba Hookova zákona): 

p_c ~=~ \frac{1}{c_a}Y_a,

kde \frac{1}{c_a} představuje stlačitelnost prostředí, která je převrácenou hodnotou jeho akustické poddajnosti ca.
Objemová rychlost w každém okamžiku představuje poměr změny objemového posunu za krátký časový interval a dobu tohoto intervalu: 

w ~=~ \frac {\Delta Y_a }{\Delta t}

Při harmonickém kmitání se bude časový průběh objemové rychlosti předbíhat o čtvrtinu periody před časovým průběhem objemového posunu a akustického tlaku. Velikost akustického tlaku pc je nepřímo úměrná úhlové frekvenci kmitání. Symbolicky můžeme akustický tlak pc zapsat: 

\mathbf{p_c} ~=~ \frac {\mathbf{w}}{j \omega c_a}

Výsledný akustický tlak budící akustický rezonátor při harmonickém kmitání je dán součtem všech tří uvedených složek: 

\mathbf{p} ~=~ \mathbf{p_r} + \mathbf{p_m} + \mathbf{p_c} ~=~ (r_a + j \omega m_a + \frac{1}{j\omega c_a})\mathbf{w}

Srovnejme nyní popis akustického rezonátoru s popisem elektrického obvodu tvořeného sériovým spojením odporu, indukčnosti a kapacity buzeného zdrojem střídavého napětí harmonického průběhu podobně jako u mechanické soustavy.
Výsledkem srovnání základních vztahů popisujících akustický rezonátor a elektrický sériový RLC obvod jsou zřejmé analogie mezi fyzikálními veličinami.
Kinetická energie mechanického pohybu odpovídá energii magnetického pole v jádře indukčnosti. Popsané analogie jsou shrnuty v tabulce:

Elektrická soustava Akustická soustava
Elektrické napětí U Akustický tlak p
Elektrický proud I Objemová rychlost w
Elektrický náboj Q Objemové posunutí Ya
Elektrický odpor R Akustický odpor ra
Indukčnost L Akustická hmotnost ma
Kapacita C Akustická poddajnost ca

Využití elektroakustických analogií

Posuzování akustických úprav uzavřených prostor

Akustické úpravy uzavřených prostor se většinou provádějí obložením stěn a stropu speciálními obklady. Účelem je v drtivé většině případů zvýšení pohltivosti stěn a tím zkrácení doby dozvuku v uzavřeném prostoru. Speciální obklady je nutné navrhnout především z akustického hlediska tak, aby tlumily odrazy o stěny nejen v potřebné míře, ale také v potřebném frekvenčním pásmu. Estetické hledisko je druhotné. Potřebujeme proto metodiku, podle které můžeme navrhnout provedení obkladů splňujících stanovený účel.
Výpočty útlumů a jejich frekvenční charakteristiky jsou běžnou praxí v teorii elektrických obvodů. Proto je účelné popsat obkladové materiály pomocí elektroakustických analogií jako elektrické součástky. Využít teorii elektrických obvodů pro výpočet akustických parametrů a výsledky pomocí analogií převést zpět na akustické soustavy.
Mezi hlavní komponenty akustických obkladů většinou patří: 

- vrstva porézního materiálu umístěná v určité vzdálenosti před stěnou
- kmitající desky nebo membrány umístěné v určité vzdálenosti před stěnou
- děrované materiály umístěné před komůrkami prostoru před stěnou

Popišme chování takových komponent elektrickými ekvivalenty.

Vrstva porézního materiálu umístěná v určité vzdálenosti před stěnou

Kmitající desky nebo membrány umístěné v určité vzdálenosti před stěnou

Děrované materiály umístěné před komůrkami prostoru před stěnou

Náhradní obvody elektroakustických měničů

Dynamické elektroakustické měniče

Dynamické elektroakustické měniče se skládají z elektrické části tvořené pohyblivou cívkou umístěnou v magnetickém poli, z mechanické části - membrány a jejího uchycení a akustické části tvořené akustickými obvody v okolí membrány. Každou část je možné popsat veličinami a vztahy uvedenými výše nebo v článku Základní veličiny akustického vlnění.
Elektrickou část je možné reprezentovat sériovým spojením indukčnosti a ztrátového odporu cívky. Ztrátový odpor respektuje elektrický odpor vinutí cívky, případně ztráty v magnetickém obvodu reproduktoru (ztráty vířivými proudy a hysterezní ztráty).
Mechanická část je tvořena membránou popsanou výše. Jejím náhradním obvodem je sériové spojení odporu, indukčnosti a kapacity, představující mechanický odpor, hmotnost a mechanickou poddajnost membrány.
Akustická část představuje zvukovody u nepřímo vyzařujících reproduktorů a mikrofonů nebo ozvučnice přímo vyzařujících reproduktorů. Pomocí elektroakustických analogií lze tuto část rovněž popsat náhradním elektrickým obvodem.
Mezi náhradními elektrickými obvody jednotlivých částí můžeme odvodit vazební prvky.
Napětí indukované v cívce pohybující se v příčném magnetickém poli je rovno: 

u_L ~=~ Blv

a síla působící na cívku: 

F ~=~ Bli, kde je
B     magnetická indukce v mezeře magnetického obvodu
l     délka vodiče cívky
v     okamžitá rychlost pohybu cívky
i     okamžitá hodnota proudu procházejícího cívkou

Z těchto vztahů je zřejmá souvislost mezi elektrickými a mechanickými veličinami. V obou vztazích vystupuje konstrukční konstanta K ~=~ Bl. Je zřejmé, že přímá souvislost je mezi dvojicemi elektrických a mechanických veličin napětí - rychlost a proud - síla: 

u_L ~=~ Kv
  i ~=~ \frac{1}{K}F

Vycházíme-li z analogie napětí se silou a proudu s rychlostí jsou vztahy elektrických a mechanických veličin překříženy. Takový popis odpovídá transformačnímu článku zvanému gyrátor s konstantou K .

Dynamický reproduktor

Vazba mezi mechanickou a akustickou částí je reprezentována tzv vyzařovací impedancí Zv. Jedná se o impedanci způsobenou odporem, který pohybu membrány klade akustická část měniče. Výkon přenášený mezi akustickou a mechanickou částí je výkonem v této vyzařovací impedanci.
Dynamický elektroakustický měnič můžeme popsat následujícím náhradním elektrickým obvodem:

Náhradní obvod elektrodynamického měniče

Použití analogie akustického obvodu si ukážeme na přímo vyzařujícím reproduktoru. Akustická impedance prostředí se transformuje na mechanickou vyzařovací impedanci přes plochu membrány. Vlivem tvaru membrány bude efektivní plocha na přední straně reproduktoru S1 větší než na zadní straně S2. 

Z_m ~=~ S^2 Z_a ~=~ \rho c S

Transformace akustické impedance na mechanickou odpovídá funkci transformátoru. Obě plochy se pohybují stejnou rychlostí, proto jsou obě dílčí vyzařovací impedance zapojeny do série. Celkové elektrické náhradní schema přímo vyzařujícího reproduktoru je na následujícím obrázku.

Náhradní obvod elektrodynamického přímo vyzařujícího reproduktoru

Vybavíme-li reproduktor uzavřenou ozvučnicí bude zadní plocha membrány zatížena poddajností uzavřeného prostoru ozvučnice.

Náhradní obvod elektrodynamického přímo vyzařujícího reproduktoru s uzavřenou ozvučnicí

Bude-li uzavřená ozvučnice vybavena bassreflexovou štěrbinou bude předchozí náhradní obvod doplněn ještě prvky, které realizuje.

Náhradní obvod elektrodynamického přímo vyzařujícího reproduktoru s bassreflexem

Analýzou a syntézou prvků náhradního obvodu můžeme navrhnout elektroakustický měnič potřebných vlastností. Přepočtem náhradního obvodu na mechanické a akustické soustavy můžeme stanovit parametry obou dílčích soustav.
Uvedené náhradní obvody vycházejí z idealizovaného modelu reproduktoru. Model lze dále zpřesňovat respektováním dalších parazitních vlastností reproduktoru a doplňováním odpovídajících analogických prvků do náhradního obvodu.

Dynamický mikrofon
Náhradní obvod elektrodynamického tlakového mikrofonu

Akustické vlny působící na membránu tlakového mikrofonu jsou v náhradním zapojení reprezentovány zdrojem akustického tlaku. Ten je přes plochu membrány transformován na sílu zapojenou se společnou rychlostí (do série) s prvky reprezentujícími membránu. 

mm     hmotnost membrány
cm     poddajnost membrány
rm     mechanický odpor membrány

Prvek c1 představuje poddajnost prostoru pod membránou a prvek r je akustickým odporem materiálu pod membránou.
Převod na elektrické svorky mikrofonu, podobně jako u reproduktoru, tvořen gyrátorem. Mechanická rychlost je zdrojem elektrického napětí a síla působící v mechanickém obvodu je zdrojem elektrického proudu. Odpor Rv je odporem vinutí cívky mikrofonu.

Kapacitní elektroakustické měniče

Náhradní obvod elektrostatického tlakového mikrofonu

Akustické vlny působící na pohyblivou elektrodu tlakového elektrostatického mikrofonu jsou v náhradním zapojení reprezentovány zdrojem akustického tlaku. Ten je přes plochu membrány transformován na sílu zapojenou se společnou rychlostí (do série) s prvky reprezentujícími pohyblivou elektrodu. 

me     hmotnost elektrody
ce     mechanické napětí - poddajnost elektrody 
re     mechanický odpor elektrody

Prvek c2 představuje poddajnost prostoru pod elektrodou. a prvek r je akustickým odporem materiálu pod membránou.
Negativní poddajnost -c1 je vliv elektrostatického pole mezi elektrodami. 

c_1 ~=~ \frac{S^2}{C_0 (\frac {U_0}{d})^2}
S     plocha elektrody
U0     stejnosměrné napětí mezi elektrodami
d     vzdálenost elektrod

Pro funkci mikrofonu je nutné, aby platilo: 

c_1 \gg c_2

Převod na elektrické svorky mikrofonu tvoří transformátor. Mechanická výchylka - změna vzdálenosti elektrod je úměrná síle působící na elektrodu. Změna vzdálenosti elektrod je při konstantním náboji změnou kapacity a tím změnou napětí. Elektrický proud by představoval změnu náboje za jednotku času na elektrodách. Tato veličina představuje rychlost v. Předpokládá se, že mikrofon bude pracovat do zátěže o velkém odporu, a tak proud výstupem bude zanedbatelný. Kapacita C0 je elektrickou kapacitou mezi svorkami mikrofonu.

Literatura

SMETANA, Ctirad. Praktická elektroakustika. Praha : SNTL - Nakladatelství technické literatury, n.p., 1981. Kapitola E - Analogie. (český)
ŠKVOR, Zdeněk. Akustika a elektroakustika. Praha : Academia, 2001. ISBN 80-200-0461-0. (český)

Citováno z „http://panwiki.panska.cz/index.php/Elektroakustick%C3%A9_analogie“