Derivace

Z PanWiki

Derivace je jedním ze základních pojmů matematiky, konkrétně diferenciálního počtu. Derivace nějaké funkce vyjadřuje rychlost změny (růstu) této funkce vzhledem k jejímu parametru či parametrům. Opačným procesem k derivování je integrování.

Koncept derivace se dá nahlížet z mnoha stran, například v případě dvourozměrného grafu funkce f(x), je derivace této funkce v libovolném bodě (ve kterém existuje) rovna směrnici tečny tohoto grafu. Z toho je vidět, že pojem derivace se objevuje i v mnoha geometrických souvislostech, např. u pojmu konkávnosti.

Obsah

1 Definice derivace
2 Zobecnění
- 2.1 Parciální derivace
- 2.2 Komplexní derivace
3 Výpočty derivací
4 Aplikace
5 Podívejte se také na
6 Externí odkazy

Definice derivace

Historické definice vyjadřovaly derivaci jako poměr, v jakém růst nějaké proměnné y odpovídá změně jiné proměnné x, na které má tato proměnná nějakou funkční závislost. Nejjednodušší myšlená představa o derivaci se dá pojmout jako že "derivace je mírou změny funkce v daném bodě, resp. bodech". Pro změnu hodnoty se používá symbol Δ, takže tento poměr lze symbolicky zapsat jako

$\frac{\Delta y}{\Delta x}$ .

Derivace je hodnota podílu pro Δx jdoucí k 0. Nahradíme-li konečně malý rozdíl Δx nekonečně malou změnou dx, získáme definici derivace

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$

což označuje poměr dvou infinitezimálních hodnot (odborně říkáme, že derivace je podílem diferenciálů závisle a nezavisle proměnné). Tento zápis se čte dy podle dx a pochází od Leibnize.

Během vývoje matematiky se intuitivní představa nekonečně malých (infintezimálních) hodnot ukázala jako nedostatečně přesná a byla nahrazena "ε-δ" formalismem limit. Nejběžnější moderní definice derivace je:

$f'(x) = \lim_{h\to 0}{\frac{f(x+h) - f(x)}{h}}$

Derivace se značí několika způsoby:

$f'(x) \quad$ (f s čarou x),
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x)$ (d podle d x z f x),
$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$ (d f podle d x),
$D_x f \quad$ (d podle x f),
Newtonova notace používá tečku nad proměnnou: $\dot{x} = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = x'(t)$ , používá se obvykle pouze ve fyzice pro derivování podle proměnné vyjadřující čas (t).

dx v některých zápisech je dnes pouhý symbol bez názorného obsahu.

Ne vždy však limita, která derivaci definuje, existuje a je konečná, tzn. ne každá funkce má v každém bodě derivaci. Říkáme, že funkce f je v bodě x diferencovatelná, pokud v tomto bodě derivace existuje; funkce je diferencovatelná na intervalu I, pokud je diferencovatelná v každém bodě tohoto intervalu. Funkce nemá derivaci v místě, kde není spojitá, ale spojitost funkce existenci derivace nezaručuje – funkce může mít v daném bodě svislou tečnu (což by odpovídalo nekonečné derivaci, což je nesmysl), popř. v daném bodě nemusí mít tečnu vůbec (v místě, kde má graf funkce „špičku“). Existují dokonce funkce, které jsou spojité v každém bodě, ale nemají v žádném bodě derivaci (např. tzv. Weierstrassova funkce).

Pokud je daná funkce diferencovatelná na nějakém intervalu, můžeme na tomto intervalu definovat funkci, která je v každém bodě tohoto intervalu rovná příslušné derivaci. Taková funkce se pak označuje prostě jako derivace funkce f.

Derivací diferencovatelné funkce je tedy opět funkce, která ovšem někdy může být také diferencovatelná. Derivaci derivace funkce nazýváme druhá derivace, derivaci druhé derivace třetí derivace atd. Tyto derivace vyšších řádů se obvykle značí f″(x), f′′′(x), pro ještě vyšší řády pak spíše f⁽³⁾(x), f⁽⁴⁾(x) atd. Při použití Leibnizovy notace se derivace vyšších řádů označují exponentem, např. $\frac{\mathrm{d}^3y}{\mathrm{d}x^3}$ .

Zobecnění

Parciální derivace

Zobecněním pojmu derivace pro funkce více proměnných je tzv. parciální derivace, kdy se u funkce více proměnných považuje za proměnnou jenom ta, podle které se derivuje, ostatní jsou v tomto výpočtu považovány za konstanty. Parciální derivace se značí obdobně jako obyčejné derivace, pouze místo znaménka d se používá znaménko ∂, např. $\frac{\part f}{\part y}$ – parciální derivace funkce f podle proměnné y.

Komplexní derivace

U komplexních funkcí komplexní proměnné lze uvažovat parciální derivace podle reálné a imaginární složky proměnné, ale jejich diferencovatelnost není postačující podmínkou pro diferencovatelnost celé funkce. Proto te zavádí komplexní derivace definovaná limitou

$f'(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0} {f(z) - f(z_0) \over z - z_0 },$

která musí mít stejnou hodnotu pro všechny posloupnosti $z n$ konvergující k $z 0$ . Viz též komplexní derivace, holomorfní funkce, Cauchyho-Riemannovy podmínky.

Výpočty derivací

Principiálně základní technikou je výpočet přímo z definice, tzn. dosazením příslušné funkce do definující limity a výpočtem této limity. Tento způsob je však obvykle (až na velice jednoduché funkce) dosti komplikovaný a v praxi se nepoužívá. Místo toho se derivace funkcí počítají ze známých derivací několika základních funkcí a jednoduchých algebraických pravidel pro jejich skládání a další úpravy.

Elementární funkce

Derivace některých elementárních funkcí
Funkce	Derivace
Polynomy
$f(x) = c\,$ (c je konstanta)	$f'(x) = 0\,$
$f(x) = x^c\,$ (c je konstanta, c ≠ 0)	$f'(x) = cx^{c-1}\,$
Mocniny, logaritmy
$f(x) = c^x\,$ (c je konstanta, c > 0)	$f'(x) = c^x \ln{c}\,$
$f(x) = e^x\,$ (e je Eulerovo číslo)	$f'(x) = e^x\,$
$f(x) = \log_a{x}\,$ (a je konstanta, a > 0, a ≠ 1)	$f'(x) = \frac{1}{x \cdot \ln{a} }\,$
Goniometrické funkce
$f(x) = \sin{x}\,$	$f'(x) = \cos{x}\,$
$f(x) = \cos{x}\,$	$f'(x) = -\sin{x}\,$
$f(x) = \operatorname{tg\,}x\,$	$f'(x) = \frac{1}{\cos^2{x}}$
$f(x) = \operatorname{cotg\,}x\,$	$f'(x) = -\frac{1}{\sin^2{x}}$
Cyklometrické funkce
$f(x) = \arcsin{x}\,$	$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2} }$
$f(x) = \arccos{x}\,$	$f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2} }$
$f(x) = \operatorname{arctg\,}x\,$	$f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$
$f(x) = \operatorname{arccotg\,}x\,$	$f'(x) = -\frac{1}{1+x^2}$

Algebraická pravidla

Ze známých derivací elementárních funkcí se derivace složitějších funkcí sestavují tak, že se složitější funkce rozloží na jednodušší pomocí jednoduchých algebraických pravidel, která pro výpočet derivací platí:

Linearita derivace: (af + bg)′ = af′ + bg′ pro libovolné funkce f, g a konstanty a, b.
- Speciálně platí (af)′ = a ⋅ f′ a také (f + g)′ = f′ + g′.
Derivace součinu: (fg)′ = f′g + fg′ pro všechny funkce f, g.
Derivace podílu: $\left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$ pro všechny funkce f, g, kde g ≠ 0.
Derivace složené funkce: Pokud f(x) = h(g(x)), pak f′(x) = h′(g(x)) ⋅ g′(x).
Derivace inverzní funkce: Pokud jsou f(x) i f⁻¹(x) obě diferencovatelné, pak tehdy, kdy Δx ≠ 0 pokud Δy ≠ 0, platí $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \left( \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} \right)^{-1}$ .
Derivace jedné proměnné vůči druhé, pokud obě jsou funkcí třetí proměnné: Pokud x = f(t) a y = g(t), pak $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} }{ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} }$ .
Derivace implicitní funkce: Pokud f(x, y) je implicitní funkce, pak $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{ \frac{\part f}{\part x} }{ \frac{\part f}{\part y} }$ .

Z některých předchozích pravidel je vidět, že Leibnizova notace umožňuje některé manipulace, které připomínají např. krácení zlomku. Je ale třeba podotknout, že se jedná jen o symbolické manipulace, s krácením zlomku nemající nic společného. V žádném případě pak není možné „krátit d“ stylem dx/dy = x/y !

Konkrétní příklady

f(x) = 3; f′(x) = 0,
f(x) = x; f′(x) = 1,
f(x) = 2x; f′(x) = 2 ⋅ 1 = 2.
f(x) = 5x³; f′(x) = 15x²; f″(x) = 30x
f(x) = e^x; f′(x) = e^x.
f(x) = ln x; f′(x) = x⁻¹.
f(x) = x³ + 2x² − 5x + 7; f′(x) = 3x² + 4x − 5.
f(x) = sin x ⋅ cos x; f′(x) = cos² x − sin² x (= cos 2x).
$f(x) = \frac{1}{\arcsin{x}}\,$ ; $f'(x) = \frac{-1}{(\arcsin{x})^2} \cdot \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} }$ .
$f(x) = x^x = e^{x \ln{x} }\,$ ; $f'(x) = e^{x \ln{x} } \cdot \left( 1\cdot\ln{x} + x\frac{1}{x} \right) = x^x \cdot \left(\ln{x} + 1 \right)$ .

Aplikace

Pojem derivace se objevuje v obrovském množství situací, jak v matematice samé, tak i v jejích aplikacích, např. ve fyzice.

Lokální extrémy

Pokud má daná diferencovatelná funkce nějaký lokální extrém (lokální maximum či minimum), je zřejmé, že její tečna v tomto bodě musí být vodorovná, tzn. derivace této funkce musí být v tomto bodě nulová. (Pokud funkce v nějakých bodech tečnu, resp. derivaci nemá, derivace o takových bodech samozřejmě nic prozradit nedokáže.) Pokud v tomto bodě lze spočítat i druhou derivaci, prozradí její znaménko, o jaký extrém se jedná:

V bodech, kde je první derivace nula a druhá derivace je kladná, se nachází lokální minimum.
V bodech, kde je první derivace nula a druhá derivace je záporná, se nachází lokální maximum.
V bodech, kde je jak první, tak druhá derivace nulová, se nachází tzv. stacionární bod, který může a nemusí být extrémem.
(V bodech, kde funkce nemá první či druhou derivaci, je nutno použít jiná kritéria.)

Alternativou k rozlišení pomocí druhé derivace je znaménko první derivace: v bodě, kde má funkce lokální extrém, mění první derivace znaménko: pokud je nějaký bod lokálním minimem, pak v jeho levém okolí je první derivace záporná a v pravém okolí kladná, naopak v levém okolí lokálního maxima je první derivace kladná a v pravém záporná.

Tato kritéria se často používají v optimalizačních úlohách. Pokud je např. požadováno najít obdélník, který při zadaném obvodu má maximální plochu, je třeba najít maximum funkce f(x) = x ⋅ (o/2 − x). Její derivací je funkce f′(x) = o/2 − 2x, která je nulová pro x = o/4. Druhá derivace funkce f je f″(x) = −2, tzn. je všude kladná. V bodě x = o/4 má tedy funkce f maximum. Znamená to tedy, že ze všech obdélníků o zadaném obvodu má největší obsah ten, který má všechny čtyři strany stejně dlouhé, tzn. čtverec.

Analýza chování funkce

Předchozí odstavec popisuje způsob, jak pro danou funkci nalézt její lokální extrémy. To může kromě optimalizačních úloh sloužit také k získání přehledu o chování funkce, např. při ručním náčrtu jejího grafu. Kromě analýzy extrémů lze využít derivací k následujícím pozorováním:

V bodech, kde je první derivace kladná, je funkce rostoucí.
V bodech, kde je první derivace záporná, je funkce klesající.
V bodech, kde je druhá derivace kladná, je funkce konvexní.
V bodech, kde je druhá derivace záporná, je funkce konkávní.
V bodech, kde je druhá derivace nulová, se mohou vyskytovat inflexní body.

Fyzika

Jednoznačně nejdůležitější oblastí použití derivace ve fyzice jsou derivace podle časové proměnné, vyjadřující rychlost změny nějaké proměnné v čase. Nejběžnější pak jsou časové derivace polohy, které se vyskytují v klasické kinematice:

Rychlost (okamžitá rychlost, koncept průměrné rychlosti se obejde bez diferenciálního počtu) je derivace souřadnice polohy tělesa podle času.
Zrychlení je derivace rychlosti podle času, tzn. druhá derivace polohy podle času.
Ryv je derivace zrychlení podle času, tzn. třetí derivace polohy podle času.

Kromě těchto základních pojmů se derivace objevují v mnoha teoriích fyzikálních polí, Maxwellových rovnicích atd.

Diferenciální rovnice

Mnoho vědeckých problémů lze formulovat v podobě rovnic, ve kterých se vedle sebe vyskytuje nějaká funkce i její derivace. Takové rovnici se říká diferenciální rovnice. Diferenciální rovnice se objevují snad ve všech vědeckých oborech, kromě matematiky a fyziky také např. v chemii, sociologii, ekologii atd. Podle toho, zda se v rovnici objevují pouze „obyčejné“ derivace, nebo i parciální derivace, se rozlišují

obyčejná diferenciální rovnice (ODE) a
parciální diferenciální rovnice (PDE).

Podívejte se také na

Externí odkazy

Derivace v encyklopedii MathWorld (anglicky)
WIMS Function Calculator umožňuje online výpočty derivací.Šablona:Link FA